Bài 1: 

Ta có: \(D=\sqrt{16x^4}-2x^2+1\)

\(=4x^2-2x^2+1\)

\(=2x^2+1\)

ta có :

\(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}=\left|x+1\right|+\left|x+2\right|\ge\left|x+1-x-2\right|=1\)

Dấu bằng xảy ra khi : \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\le0\Leftrightarrow-2\le x\le-1\)

\(D=\sqrt{\left(x+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}\)

\(D=|x+\sqrt{3}|+|x-\frac{1}{2}|=|x+\sqrt{3}|+|\frac{1}{2}-x|\ge|x+\sqrt{3}+\frac{1}{2}-x|\)

=sqrt(3)+1/2.

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là: sqrt(3)+1/2. Dấu bằng thì bạn tham khảo bất đẳng thức:

lal+lbl geq la+bl

\(Q=x-2\sqrt{2x-1}=x-\frac{1}{2}-2.\sqrt{x-\frac{1}{2}}.\sqrt{2}+2-\frac{3}{2}=\left(\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\sqrt{2}\right)^2-\frac{3}{2}\ge-\frac{3}{2}\)

... 

\(Q=\frac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\cdot\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(Q=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(Q=x+1\)

Không thể tìm được GTLN hay GTNN của Q.

b)

   \(\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=3\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\)

Để \(\frac{3Q}{\sqrt{x}}\) nguyên thì \(\frac{3}{\sqrt{x}}\)nguyên hay \(\sqrt{x}\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Vì \(\sqrt{x}\)dương nên \(\sqrt{x}\in\left\{1;3\right\}\)

Vậy x=1, x=9 là các giá trị cần tìm

ĐK: \(x\ge1\)

\(A=2x+y^2-2\sqrt{x-1}\left(y+1\right)\)

\(=\left(y^2-2\sqrt{x-1}.y+x-1\right)+\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+1\)

\(=\left(y-\sqrt{x-1}\right)^2+\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge1\)

Dấu "=" xảy ra < => x = 2; y = 1

Vậy min A = 1 tại x = 2 và y = 1.

cho đường tròn tâm O bán kính r,điểm A cố định nằm ngoài đường tròn.kẻ 2 tiếp tuyến AM,AN.Đường thẳng D đi qua A cắt đường tròn O tại B,C với AB<AC.Chứng minh 5 điểm A,M,N,O,I thuộc đường tròn

cho đường tròn tâm O bán kính r,điểm A cố định nằm ngoài đường tròn.kẻ 2 tiếp tuyến AM,AN.Đường thẳng D đi qua A cắt đường tròn O tại B,C với AB<AC.Chứng minh 5 điểm A,M,N,O,I thuộc đường tròn

a) \(A=\sqrt{4x^2+4x+2}=\sqrt{4x^2+4x+1+1}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1}\)

Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{1}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x+1=0\)\(\Leftrightarrow2x=-1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(minA=1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b) \(B=\sqrt{2x^2-4x+5+1}=\sqrt{2x^2-4x+2+3+1}=\sqrt{2\left(x^2-2x+1\right)+4}\)

\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+4}\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)

\(\Rightarrow B\ge\sqrt{4}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(minB=2\Leftrightarrow x=1\)

Mơn bạn nha

\(M=2x+\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M-2x=\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M^2-4Mx+4x^2=5-x^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-4Mx+M^2-5=0\)

Để PT theo nghiệm x có nghiệm thì

\(\Delta'=4M^2-5.\left(M^2-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow M^2\le25\)

\(\Leftrightarrow-5\le M\le5\)

Max đúng

Min sai rồi

DK \(x\ge-\sqrt{5}\)

=> M \(\ge-2\sqrt{5}\)

\(M=2x+\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M-2x=\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M^2-4Mx+4x^2=5-x^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-4Mx+M^2-5=0\)

Để PT theo nghiệm x có nghiệm thì

\(\Delta=4M^2-5.\left(M^2-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow M\le25\)

\(\Leftrightarrow-5\le M\le5\)

\(M=\sqrt{x^2-2x+11}\)

\(=\sqrt{x^2-2x+1+10}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}\)

Nhận thấy (x - 1)² \(\ge0\)

=> (x - 1)² + 10 \(\ge10\)

=> \(\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}\ge\sqrt{10}\)

=> Min M = \(\sqrt{10}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0

<=> x = 1

Vậy Min M = \(\sqrt{10}\)khi x = 1

M nhỏ nhất khi \(x^2-2x+11\)nhỏ nhất.

Mà \(x^2-2x+11=\left(x^2-2x+1\right)+10=\left(x-1\right)^2+10\)

Lại có \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+10\ge10\Leftrightarrow x^2-2x+11\ge10\)(đẳng thức xảy ra khi x = 1)

Do đó \(min_{x^2-2x+11}=10\Leftrightarrow x=1\)

Khi đó \(M=\sqrt{x^2-2x+11}=\sqrt{10}\)

Vậy GTNN của M là 10 khi x = 1.